Algebra Líneal
Números complejos:
Un número complejo se define cómo Z=a+bi donde a es la parte real y bi es la parte imaginaria, se llama imaginario puro, si sólo se tiene la parte imaginaria.
Sé puede utilizar la versión de coordenada (a,b) ya que su representación gráfica, es el plano, entonces el eje “x” es llamado eje “real” y el eje “y” el “imaginario”.
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado. El conjunto de los números complejos se designa con la notación , siendo el conjunto de los números reales se cumple que ( está estrictamente contenido en ). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilitación de cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.
Opreaciones con complejos:
En esta representación, es el módulo del número complejo y el ángulo es el argumento del número complejo.
Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:
Sacamos factor común r:
Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:
la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.
Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.
Según la Fórmula de Euler, vemos que:
No obstante, el ángulo no está unívocamente determinado por z, pueden existir infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano, que se diferencian por el número de revoluciones, ya sean de sentido antihorario (positivas) u horario (negativas) las cuales se representan por números enteros , como implica la fórmula de Euler:
Por esto, generalmente restringimos al intervalo [-π, π) y a éste restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.
Operaciones en forma polar[editar]
La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:
División:
Potenciación:
Representación en forma de matrices de orden 2
En el anillo de las matrices de segundo orden sobre el campo de números reales, se puede hallar un subconjunto que es isomorfo al cuerpo de los números complejos. Pues, se establece una correspondencia entre cada número complejo a+bi con la matriz
De tal manera se obtiene una correspondencia biunívoca. La suma y el producto de dos de esta matrices tiene de nuevo esta forma, y la suma y producto de números complejos corresponde a la suma y productode tales matrices. En particular la matriz cumple el rol de unidad imaginaria.
